Oraciones infinitas
Esto es sencillo.
La oración "está lloviendo" es verdad cuando la oración "no está lloviendo" es mentira.
En general, una frase es verdadera cuando, agregándole un "no", es falsa.[1]
Ahora, supongamos que pudiéramos enunciar oraciones infinitas, y pensemos en la oración "no no no ..." (con infinitos "no"s).
Por lo que dijimos antes, "no no no ..." es verdadera cuando "no no no no ..." (agregándole un "no") es falsa.
Pero "no no no ..." y "no no no no ..." en realidad son la misma oración, porque ambas tienen infinitos "no"s.
Entonces, ¡"no no no no ..." es verdadera cuando ella misma es falsa!
Nota:- [1] Bueno, claro; con "agregar" me refiero a que el "no" que se agrega afecte a toda la oración.
Oraciones finitas
El resultado anterior es básicamente una oración que se contradice a sí misma. Sería una especie de paradoja. De cualquier manera, para considerar que lo anterior es una paradoja estamos asumiendo bastantes cosas: (1) que toda oración es o verdadera o falsa, (2) que se pueden enunciar oraciones infinitas, (3) que agregar o quitar un "no" en una oración infinita funciona igual que en una oración finita.
El (1) no es un gran problema. Podemos considerar que la oración, más que una paradoja, es un ejemplo de oración que no es verdadera ni falsa. (2) y (3) pueden ser un poco más problemáticos. ¿Se podrá construir algo parecido usando oraciones que no sean infinitas?
Obviamente podemos decir algo como "esta oración es falsa", que si fuera verdadera afirmaría que ella es falsa, y si fuera falsa afirmaría que es verdadera.
Pero esa oración es un poco trucha en cuanto a que usa el demostrativo "esta", recurriendo a un mero truco del lenguaje. Por ejemplo, la oración "soy grosso" ¿es verdadera o falsa? Y bueno, depende de quién lo diga. En mi caso no :D Pero no se puede evaluar la verdad o falsedad de una oración que se refiere a algo "fuera del mundo" de la oración. (Y por la misma razón "esta oración es falsa" es un poco trucha).
Quine
El truco (en su versión lingüística) lo tomo de G.E.B..
La idea parte de la noción de quinear una oración. Quinear una oración es precederla por sí misma entrecomillada.
Por ejemplo, el resultado de quinear hola es "hola" hola.
Un ejemplo un poco más interesante es tiene tres palabras, porque quineada es "tiene tres palabras" tiene tres palabras. Este ejemplo es más interesante porque la versión quineada de la oración predica sobre la oración no quineada.
Otro ejemplo: es una oración horrible quineada: "es una oración horrible" es una oración horrible. De nuevo, lo "divertido" de este ejemplo es que la oración quineada dice que la oración sin quinear es horrible.
Un ejemplo mucho más interesante todavía es este: quineada es horrible. Es interesante porque esa oración quineada es así: "quineada es horrible" quineada es horrible. Es mucho más interesante porque la versión quineada habla de sí misma. Lo que dice es que si uno agarra la oración quineada es horrible y la quinea, obtiene algo horrible. Pero la versión quineada es justamente "quineada es horrible" quineada es horrible.
Se ve entonces que esa es una forma de hacer que una oración se refiera a sí misma sin usar pronombres que hablen sobre el mundo exterior (como "yo" o "esta").
Ahora es fácil conseguir una oración que diga "yo soy falsa". La oración siguiente: "quineada es falsa" quineada es falsa (llamémosla Pepa). Si Pepa fuera verdadera, entonces el resultado de quinear quineada es falsa (que es justamente Pepa) debería ser falsa. Y por el mismo razonamiento, si Pepa fuera falsa, estaría diciendo que Pepa es verdadera.
Puntos fijos
En realidad esto de recién se puede pensar como un mecanismo general para construir una oración que diga "esta oración es así y asá". Igual que en el caso anterior, la idea es tomar la oración: "quineada es así y asá" quineada es así y asá (llamémosla Mafalda).
Esto, de nuevo, es porque si agarramos quineada es así y asá y la quineamos, obtenemos justamente a Mafalda.
Criticisms
Acá se podría cuestionar que en realidad estas oraciones también están haciendo referencia a algo que pertenece al mundo exterior (la noción de "quinear").
Esto se puede mejorar un poco más metiendo la noción de "quinear" dentro de las oraciones sobre las cuales queramos predicar. Por ejemplo, una versión más verborrágica de Pepa podría ser:
"precedida por su versión entre comillas es falsa" precedida por su versión entre comillas es falsa.
Observar que en este caso el pronombre "su" no se refiere a algo que esté fuera del mundo de la oración: se refiere justamente a la parte de la oración que está entre comillas.
Una nota más
Todas estas cosas se pueden hacer "bien", de manera formal, y tienen consecuencias interesantes que tienen que ver con la lógica y la computación (indecidibilidad, punto fijo, Quine, Gödel, Church, etc.).
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